Figure 1. Fonction piecewise. 12
Figure 2. Continuité de la primitive. 13
Figure 3. Combinaisons linéaires. 13
Figure 4. Une ligne brisée... 16
Figure 5... et sa primitive. 16
Figure 6. Intégration selon les triangles... 25
Figure 7. ... et selon les parallélogrammes. 25
Figure 8. Temps d'attente conditionnel dans une file M/D/1. 57
Figure 9. Densité de probabilité du temps d'attente conditionnel. 58
Figure 10. Fonction de répartition du temps d'attente conditionnel. 58
Figure 11. Probabilité résiduelle (graphe semilogarithmique). 59
Figure 12. Vérification de la qualité de l'ajustement obtenu. 59
Figure 13. File M/D/1 : durée des étapes successives de l'algorithme. 63
Figure 14. File M/D/1 : de la fonction F1 à la fonction F16. 64
Figure 15. File M/D/1 : de la fonction B3 à la fonction B16. 64
Figure 16. Comparaison B8/Bex. 65
Figure 17. Comparaison B16/Bex. 65
Figure 18. Comparaison B24/Bex. 66
Figure 19. Comparaison B16/B24. 66
Figure 20. File M/D/1 : convergence des sommes partielles vers leur borne supérieure. 67
Figure 21. Lieu des intersections des courbes approchées successives. 68
Figure 22. File M/D/1 : majorations partielles de la fonction B. 69
Figure 23. File M/U/1 : durée des étapes successives de l'algorithme. 70
Figure 24. File M/U/1 : de la fonction F1 à la fonction F16. 71
Figure 25. File M/U/1 : de la fonction B3 à la fonction B16. 71
Figure 26. Comparaison B8/B16. 72
Figure 27. Comparaison B16/B24. 72
Figure 28. Lieu des intersections des courbes approchées successives. 72
Figure 29. File M/U/1 : encadrement de la fonction B à partir de la fonction B16.. 73
Figure 30. Principe de fonctionnement d'un disque dur. 74
Figure 31. Spécifications du disque utilisé. 75
Figure 32. La loi de répartition de z. 76
Figure 33. Loi du temps de lecture. 78
Figure 34. Approximation par une loi triangulaire. 79
Figure 35. F4 et FF4 83
Figure 36. F16 et FF16 83
Figure 37. Superposition BB16, B16. 86
Figure 38. Différence BB16-B16. 86
Figure 39. Supports de F16 et FF16. 88
Figure 40. F8 et FF8 89
Figure 41. F16 et FF16 89
Figure 42. Tracé aberrant de la fonction B16. 92
Figure 43. Discontinuité anormale de la fonction B16_10. 93
Figure 44. Apparente continuité de la fonction B16_20. 93
Figure 45. Approximants compensés 4, 6 et 12 pour l'algorithme de Stehfest. 95
Figure 46. Oscillations de l'approximant compensé numéro 6. 96
Figure 47. Oscillations de l'approximant compensé numéro 12. 96
Figure 48. Oscillations de l'approximant compensé numéro 24. 97
Figure 49. Erreur à longue distance. 97
Figure 50. Approximation de la fonction B4. 99
Figure 51. Erreur pour 20 décimales. 100
Figure 52. Erreur pour 30 décimales. 100
Figure 53. Différence entre deux valeurs de B4. 101
Figure 54. Différence entre les deuxième et troisième tentatives. 102
Figure 55. Nombre conditionnel de machines en service au début d'une réparation. 113
Figure 56. La chaîne des états du réparateur (services déterministes). 114
Figure 57. Fréquences stationnaires des transitions entre niveaux d'indisponibilité. 133
Figure 58. Décomposition de la chaîne des niveaux en deux sous-chaînes. 141
Figure 59. Chaînes des niveaux, cas exponentiel. 147
Figure 60. Chaîne des états du réparateur. 148
Figure 61. Plusieurs routages sont possibles. 150
Figure 62. Matrice de Markov pour un buffer, avec a=b=2, p=0.8, q=2. 152
Figure 63. Etats excités pour un buffer, avec a=b=2, p=0.8, q=2. 153
Figure 64. Etats excités pour un buffer, avec a=b=3, p=0.6, q=2. 153
Figure 65. Les différentes transitions possibles, et les blocs matriciels correspondants. 154
Figure 66. Etats excités pour un commutateur, avec a=b=3, q=2, p=0.6 154
Figure 67. Régime asymétrique : hot spot (cp=1) sur la ligne 1, a=b=3, q=2, p=0.4 155
Figure 68. Nombre des états selon la taille des buffers. 156
Figure 69. Occupation moyenne, a=3, b=3, p=0.4 156
Figure 70. Occupation moyenne, a=3, b=3, p=0.4 157
Figure 71. Analyse syntaxique du texte d'une formule. 161
Figure 72. Le dagu d'une expression donnée. 162
Figure 73. Analyse syntaxique de l'affichage écran. 163
Figure 74. Stockage interne d'une expression. 164
Figure 75. Vérification graphique de la solution obtenue. 187
Figure 76. Régularité de la suite des pôles : Im(z) versus exp(Re(z)). 191
Figure 77. Courbes de niveau du module du dénominateur. 192
Figure 78. Cuvette et piliers : le voisinage des pôles. 193
Figure 79. Un carré du demi-plan de droite. 196
Figure 80. Presque tout le disque unité. 196
Figure 81. Ecarts fonction-approximation pour n=6 et n=9. 197
Figure 82. Décroissance lente des coefficients de Fourier. 198
Figure 83. Graphe des fonctions de Laguerre 0, 8, 16 et l'original à approximer. 199
Figure 84. Services déterministes : approximants de Laguerre numéro 4, 8 et 16. 199
Figure 85. La sixième fonction de Laguerre et son 16-ième approximant de Stehfest. 201
Figure 86. Attente conditionnelle et approximants de Stehfest numéro 6, 12 et 24. 202
Figure 87. Comparaison à longue distance des approximants 12 et 24. 203
Figure 88. Phénomène de Gibbs aux bords de la discontinuité. 203
Figure 89. Double oscillation autour d'un Dirac (loi du temps de séjour). 204
Figure 90. Histogramme des fréquences, histogramme des probabilités. 225
Figure 91. Une fonction et deux de ses reconstitutions. 227
Figure 92. Une distribution continue. 228
Figure 93. La distribution cumulée associée. 228
Figure 94. Distribution cumulée inverse. 228
Figure 95. Aires égales. 231
Figure 96. En dix zones. 231
Figure 97. En vingt zones 232
Figure 98. En 40 zones. 232
Session 1. Fonction définie par morceaux. 12
Session 2. Intégration et dérivation d'une fonction par morceaux. 13
Session 3. Combinaisons linéaires de fonctions par morceaux. 13
Session 4. Ecriture matricielle des fonctions par morceaux. 14
Session 5. Fonction continue, affine par morceaux. 14
Session 6. Évaluation d'une fonction par morceaux. 15
Session 7. Intégration d'une fonction par morceaux. 15
Session 8. Paramètres de dispersion d'une densité définie par morceaux. 16
Session 9. Clauses assume : mécanisme de base. 17
Session 10. Clauses assume : mécanisme de surcharge. 18
Session 11. Superposition de clauses. 18
Session 12. Clauses assume : conflit entre les instanciations. 18
Session 13. Les arcanes de la commande assume. 19
Session 14. Comparer deux expressions. 20
Session 15. Les éléments constitutifs des clauses assume. 21
Session 16. Prendre le contrôle du système expert. 22
Session 17. Deux exemples d'utilisation. 23
Session 18. Contrôles a posteriori. 23
Session 19. Convolution et changement de variable. 24
Session 20. Le changement de variable. 25
Session 21. Convolution et paramètres de dispersion. 25
Session 22. Convolution et transformée de Laplace. 26
Session 23. La procédure de convolution. 27
Session 24. Gestion de la factorisation des intégrales. 28
Session 25. Retournement de l'intervalle d'intégration. 28
Session 26. Permutation de deux signes d'intégration. 29
Session 27. Utilisation taupinesque de la règle de l'Hôpital. 29
Session 28. Calcul formel et règle de l'Hôpital. 30
Session 29. Nombre dérivé et évaluation d'une fonction dérivée. 30
Session 30. Reculer un indice de sommation. 31
Session 31. Avancer l'indice de sommation. 31
Session 32. Entrée ou sortie d'un terme sous le signe somme. 32
Session 33. Graduation préétablie des axes. 32
Session 34. Graduation programmée des points anguleux. 33
Session 35. Tracé d'une fonction par morceaux à partir de sa matrice. 33
Session 36. Triangles et losanges. 33
Session 37. L'infini, ce n'est pas si simple. 34
Session 38. Paramètres de dispersion de la loi de service. 37
Session 39. Paramètres de distribution du "gros client". 37
Session 40. Paramètres du service résiduel. 38
Session 41. Série (exponentielle) génératrice des moments d'une loi exponentielle. 39
Session 42. Formalisme des fonctions par morceaux. 39
Session 43. Loi de Poisson (approche expérimentale). 40
Session 44. Détermination de la condition initiale. 40
Session 45. Une équation intégrale. 41
Session 46. Résolution de l'équation aux dérivées partielles. 41
Session 47. Obtention des paramètres à partir de la série génératrice. 42
Session 48. La formule de récurrence. 42
Session 49. Relation entre les deux séries génératrices. 43
Session 50. Description du processus Z(n). 43
Session 51. Paramètres de dispersion du nombre de clients présents lors d'un départ. 43
Session 52. Formule de Pollaczek-Khintchine 44
Session 53. Transformée de Laplace et paramètres de dispersion. 45
Session 54. Paramètres de dispersion du temps de séjour. 45
Session 55. Les variables f, b et w. 45
Session 56. La loi du service résiduel et sa transformée de Laplace. 46
Session 57. Relations portant sur les fonctions auxiliaires. 47
Session 58. Paramètres de dispersion des variables b et w. 48
Session 59. Paramètres des lois w et h à partir de ceux de la loi b. 48
Session 60. Services déterministes. 49
Session 61. Services uniformes. 49
Session 62. Services exponentiels. 50
Session 63. Les trois premières fonctions F. 51
Session 64. La fonction BB4. 52
Session 65. Une autre définition des fonctions par morceaux. 52
Session 66. Implémentation simplifiée de la fonction de Heaviside. 53
Session 67. Les définitions. 53
Session 68. Equation intégrale caractérisant la fonction b. 53
Session 69. Premier intervalle. 54
Session 70. Réduction de l'intervalle d'intégration. 54
Session 71. Equation intégrale pour les autres intervalles. 55
Session 72. Le deuxième intervalle. 55
Session 73. Equation intégrale (n > 1). 55
Session 74. Deux itérations. 56
Session 75. Loi du temps d'attente conditionnelle dans une file M/D. 56
Session 76. Vérification des 5 premiers termes. 57
Session 77. Tracé du graphe. 57
Session 78. Densité de probabilité et fonction de répartition. 58
Session 79. Probabilité résiduelle. 58
Session 80. Initialisation 62
Session 81. Mesures de durée. 62
Session 82. La procédure d'itération. 62
Session 83. File M/D/1 : les deux premières itérations. 63
Session 84. Durée et affichage des 24 premières itérations. 63
Session 85. File M/D/1 : comparaison graphique avec la solution exacte. 65
Session 86. File M/D/1 : minoration de la loi d'attente conditionnelle. 66
Session 87. Algorithme de Newton modifié (regula falsi). 67
Session 88. Intersection des courbes approchées et de la courbe exacte. 68
Session 89. Tracé du graphe des majorants. 69
Session 90. Loi uniforme du service et service résiduel associé. 70
Session 91. File M/U/1 : durée prévisionnelle du calcul de B32. 71
Session 92. Tracé des figures précédentes. 73
Session 93. Délais de lecture (en ms). 75
Session 94. Différence de deux variables aléatoires. 76
Session 95. Construction de la figure. 77
Session 96. Moyenne et variance du temps de positionnement du bras. 77
Session 97. Paramètres de dispersion du temps total de lecture. 77
Session 98. Calcul et tracé de la loi du temps de lecture. 78
Session 99. Approximation par une ligne brisée à trois points anguleux. 79
Session 100. Exponentiation rapide : durées des premières itérations. 81
Session 101. Nombre de points anguleux et degré des polynômes. 82
Session 102. Identification des variables réduites. 82
Session 103. Utilisation de la loi des grands nombres. 83
Session 104. Différence quadratique moyenne. 83
Session 105. Comparaison des approximations à un saut et à deux sauts. 84
Session 106. Réduction du degré par interpolation de Lagrange. 85
Session 107. Approximation par interpolation de Lagrange. 85
Session 108. Influence de la réduction sur l'espérance et la variance. 86
Session 109. Une procédure approchée. 87
Session 110. Durées de calcul (procédure approchée). 87
Session 111. Moyennes et variances. 88
Session 112. Durées des premières itérations. 89
Session 113. Calcul de B64 (loi uniforme). 90
Session 114. Complexités en termes de points anguleux et de degré. 90
Session 115. Comparaison des erreurs d'approximation et de troncature. 90
Session 116. Création d'un package. 91
Session 117. Calculs en virgule flottante, avec 10 puis 20 chiffres. 92
Session 118. Mesure de l'ampleur des discontinuités apparaissant aux points anguleux. 94
Session 119. Détermination du terme de compensation. 94
Session 120. Approximants compensés 4, 6 et 12 pour l'algorithme de Stehfest. 95
Session 121. D'abord ne pas nuire. 95
Session 122. Calcul des écarts à la solution exacte. 96
Session 123. Estimation de l'erreur à longue distance. 97
Session 124. Utilitaires d'exécution. 98
Session 125. Entiers et flottants. 99
Session 126. Une autre loi triangulaire. 101
Session 127. Troisième loi triangulaire. 101
Session 128. Explosion du temps de calcul. 102
Session 129. Approximation des moindres carrés. 103
Session 130. Densité de probabilité d'un triplet d'inter-arrivées. 107
Session 131. Probabilité de la survenue de trois pannes durant une réparation. 107
Session 132. Formule de calcul des espérances conditionnelles. 107
Session 133. Espérance de la durée de chacun des quatre intervalles temporels. 108
Session 134. Mise en évidence de la structure. 108
Session 135. Dérivée logarithmique et polynômes de Lagrange. 109
Session 136. Durées moyennes des inter-arrivées pendant une réparation. 109
Session 137. Exemples et vérification formelle. 110
Session 138. Expression intégrale de la récurrence. 110
Session 139. Fubini strikes again. 111
Session 140. Preuve de la relation de récurrence. 111
Session 141. La série génératrice double et son utilisation. 112
Session 142. Nombre de machines en service, connaissant le nombre de pannes. 112
Session 143. Matrice de transition de la chaîne incluse. 114
Session 144. Vecteur stationnaire de la chaîne incluse. 115
Session 145. Distribution temporelle du nombre de machines indisponibles. 116
Session 146. Deux lemmes de sommation. 118
Session 147. Espérance du nombre de passages dans un état donné. 118
Session 148. Une application de la formule de Kolmogorov. 119
Session 149. Expression asymptotique de l'espérance du nombre de passages. 119
Session 150. Espérances des carrés des nombres de visites. 120
Session 151. Chemins et chemins continués. 120
Session 152. Une autre somme de Kolmogorov. 121
Session 153. Dans laquelle apparaît une troisième somme remarquable. 121
Session 154. Une troisième identité remarquable. 121
Session 155. Variance du nombre de passages. 122
Session 156. Le programme de simulation. 123
Session 157. Simulation de 800 000 événements. 124
Session 158. Fréquence de passage dans les états de la chaîne de Markov incluse. 125
Session 159. Découpage de la durée de séjour dans les différents états. 126
Session 160. Fréquences temporelles de séjour dans un niveau de fonctionnement. 126
Session 161. Simulation avec estimation des variances. 128
Session 162. Post-traitement des résultats. 129
Session 163. Résultats expérimentaux et comparaison avec les résultats théoriques. 130
Session 164. Distance réduite entre résultats expérimentaux et résultats théoriques. 130
Session 165. Matrice de la chaîne des transitions du réparateur. 131
Session 166. Appareillage statistique associé à la matrice de la chaîne des transitions. 132
Session 167. Une autre expression du déploiement temporel de la chaîne du réparateur. 132
Session 168. Matrice des fréquences de transition entre les niveaux d'indisponibilité. 133
Session 169. Vecteur stationnaire des niveaux d'indisponibilité. 134
Session 170. Une estimation (injustifiée) des variances. 135
Session 171. La chaîne des transitions de niveau. 135
Session 172. Décomposition de la matrice des transitions de niveau. 135
Session 173. Application (erronée) de la formule des variances. 136
Session 174. Déploiement temporel de la chaîne des niveaux. 137
Session 175. Série génératrice des inter-arrivées durant une réparation. 137
Session 176. La chaîne de Markov du réparateur. 138
Session 177. La chaîne des transitions du réparateur. 138
Session 178. Espérance d'une fonction des inter-arrivées sachant que k=3. 139
Session 179. Les inter-arrivées sont indépendantes du nombre de pannes. 139
Session 180. Fréquences temporelles des niveaux d'indisponibilité. 140
Session 181. Décomposition de la chaîne des niveaux d'indisponibilité. 140
Session 182. Probabilités individuelles stationnaires des niveaux d'indisponibilité. 141
Session 183. Les deux chaînes (paires et impaires) de transition de niveau. 142
Session 184. Déploiement temporel de la chaîne des niveaux. 142
Session 185. En trois étapes, avec trois seuils. 143
Session 186. Introduction de seuils dans le programme de simulation. 144
Session 187. Pondération des échelons. 145
Session 188. Ecart-type réduit de 1'estimateur de "toutes les machines en panne"
pour 13 machines et trois étages (ligne = 1° seuil ; colonne = 2° seuil). 145
Session 189. Une comparaison. 146
Session 190. Probabilité des transitions vers le dernier état. 147
Session 191. Présence et absence d'une sous-expression. 163
Session 192. Stockage effectif du dagm d'une expression. 165
Session 193. Accès au codage machine d'une expression. 165
Session 194. Cachez cette table que je ne saurais voir. 166
Session 195. Le type syntaxique d'une expression reflète le drapeau de la cellule. 166
Session 196. Rétrocompilation d'une expression. 167
Session 197. Rétrocompilation d'une expression. 167
Session 198. Codage d'une chaîne de caractères. 168
Session 199. Codage des données : une liste de questions. 168
Session 200. Drapeaux servant à coder des données. 169
Session 201. Différentes façons d'interpréter le type "puissance". 169
Session 202. Récupération des sous-expressions d'une expression. 170
Session 203. Evaluation des "petits" objets. 170
Session 204. Evaluation des "gros" objets. 171
Session 205. Tables en Maple. 172
Session 206. Copier une matrice, deux interprétations. 172
Session 207. Copier une matrice, deux autres interprétations. 173
Session 208. Quatre modes de copie à l'oeuvre. 173
Session 209. Un exemple de table. 174
Session 210. Un exemple de table de hachage. 174
Session 211. Les procédures codées en assembleur. 175
Session 212. Description d'une procédure Maple. 176
Session 213. Les sept objets composant une procédure. 176
Session 214. Désassemblage du corps de procédure. 177
Session 215. Calculs portant sur une procédure. 177
Session 216. Les médiatrices d'un triangle... 178
Session 217. ... sont concourantes. 178
Session 218. Méthode du pivot de Gauss. 179
Session 219. La conclusion voulue ... et une liste de cas particuliers. 179
Session 220. Identification des cas particuliers. 180
Session 221. D'un développement en zéro vers un développement à l'infini. 184
Session 222. Action des homothéties-translations. 184
Session 223. Action des opérateurs d'intégration-dérivation. 185
Session 224. Image d'une convolution. 185
Session 225. Une intégrale célèbre. 186
Session 226. Résolution d'une équation différentielle. 186
Session 227. Equation différentielle des polynômes de Chebyschev. 187
Session 228. Deux tentatives : un demi-succès et un demi-échec. 188
Session 229. Quelques originaux. 189
Session 230. Une décomposition élémentaire. 189
Session 231. De la difficulté de factoriser un polynôme. 189
Session 232. Intégrale de Bromwich et calcul des résidus. 190
Session 233. Exploration des pôles. 190
Session 234. Localisation asymptotique des pôles. 191
Session 235. Localisation asymptotique : méthode analytique. 192
Session 236. Une vérification. 192
Session 237. Les polynômes de Laguerre et leurs images Laplace. 194
Session 238. Une conséquence de la formule de Rodrigues. 194
Session 239. Coefficients de Laguerre d'une fonction holomorphe. 195
Session 240. La procédure conformalin. 195
Session 241. Décomposition de Laguerre : un exemple. 196
Session 242. Vérification numérique et graphique. 197
Session 243. Coefficients de Fourier, formule de Parseval-Bessel. 197
Session 244. Services déterministes : coefficients de Fourier. 198
Session 245. Mauvaise ressemblance entre les fonctions de Laguerre et l'original. 198
Session 246. Affichage des approximants 199
Session 247. Coefficients de Stehfest. 200
Session 248. Action sur les polynômes de Laguerre. 201
Session 249. Action sur la sixième fonction de Laguerre. 201
Session 250. Calcul des approximants 6, 12 et 24. 202
Session 251. Evaluation de l'erreur. 202
Session 252. Approximants 24 et 36 de la loi du temps de séjour. 204
Session 253. Une densité de probabilité. 205
Session 254. Calcul de l'espérance du noyau de Gaver. 206
Session 255. Calcul de l'espérance du carré. 206
Session 256. Vérification des calculs et expression de la variance. 207
Session 257. Application de la loi des grands nombres. 207
Session 258. Méthode de Gaver pour la transformation de Laplace inverse. 208
Session 259. Une interprétation tentante ! 208
Session 260. Accélération de Romberg et matrice de Vandermonde. 209
Session 261. Base duale et polynômes d'interpolation de Lagrange. 209
Session 262. Les coefficients d'élimination et leur série génératrice. 210
Session 263. Formule d'inversion de Stehfest. 210
Session 264. Estimations à deux points. 220
Session 265. Invariance sous l'action du groupe symétrique. 220
Session 266. Estimation de la moyenne et de la variance. 221
Session 267. Estimateur de la moyenne, estimateur de la variance. 221
Session 268. Moyenne et variance de l'estimateur de la moyenne. 222
Session 269. Estimateur correct et estimateur biaisé pour la variance. 223
Session 270. Variance de l'estimateur de la variance. 223
Session 271. Résumé des résultats intermédiaires. 224
Session 272. Encadrement au risque de 5%. 224
Session 273. Somme de deux dés. 225
Session 274. Le package de statistiques. 225
Session 275. Récupération de données. 226
Session 276. Régression linéaire. 226
Session 277. Régression fonctionnelle. 227
Session 278. Le sous-package de calcul numérique. 228
Session 279. De quoi durer quelques années. 229
Session 280. Appel individuel au générateur aléatoire. 229
Session 281. Appel par paquets de 26 nombres. 230
Session 282. Générateur selon la loi normale. 230
Session 283. Produit de deux lois normales indépendantes. 230
Session 284. Histogrammes. 231