1.3 Le test des paramètres de répartition

1.3.1 Pose du problème

Appelons échantillon de taille une suite quelconque de nombres réels . Le problème général de la qualité d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires peut se formuler ainsi : "existe-t-il une méthode plus efficace que le tirage à pile ou face pour déterminer si un échantillon donné a été obtenu par itérations du générateur à tester ou par instanciations effectivement indépendantes d'une variable aléatoire effectivement uniforme" ?

Une méthode simple à mettre en oeuvre consiste à considérer la "moyenne d'échantillon", définie par , ainsi que la "variance d'échantillon", définie par . La question est alors de comparer avec , ainsi que avec pour voir si les inévitables différences entre les valeurs théoriques et expérimentales sont ou non significatives.

Pour répondre à cette question, le choix de la valeur de n'est indifférent. Pour des raisons de statistique, il faut exclure les trop petites valeurs de (tout nombre de est une bonne instanciation d'une variable aléatoire continue sur cet intervalle). Mais il faut aussi exclure les trop grandes valeurs de . En effet, un générateur pseudo aléatoire, étant déterministe sur un ensemble fini est périodique. Pour des générateurs explorant toutes les valeurs de avec , un échantillon de taille vérifie et , relations qui sont "trop belles pour être vraies". Un compromis raisonnable est .

Ainsi, les premières valeurs fournies par le générateur lgm() à partir de conduisent à et , ainsi qu'à l'histogramme de la figure 1.4.

Figure 1.4: 40000 tirages uniformes dans .

Le fait de ne pas trouver exactement les valeurs théoriques et est tout à fait naturel, mais il reste à examiner la vraisemblance des écarts constatés, c'est à dire à qualifier l'écart entre les écarts effectivement issus du générateur pseudo-aléatoire et les écarts qui seraient issus d'un générateur effectivement aléatoire.

1.3.2 Le modèle théorique (variables iid)

Dans ce paragraphe (1.3.2), nous considérons un échantillon issu d'un générateur effectivement aléatoire : les sont donc des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Il est bien connu qu'en pareil cas on a : , c'est à dire que est un estimateur non biaisé de , et que .

Pour ce qui est de l'espérance de en tant qu'estimateur de , les calculs se simplifient grandement lorsque l'on utilise la variable centrée c'est à dire définie par . Convenons en outre de désigner par la somme étendue aux couples tels que . On obtient alors :

montrant que (la variance d'échantillon) est un estimateur non biaisé de la variance globale.

Pour ce qui est de , nous avons :

En résumé, nous avons les formules suivantes (variances des estimateurs, hypothèse iid) :

Pour la loi uniforme, nous avons , et . On en tire , , et . Les écarts expérimentaux du paragraphe précédent doivent donc être qualifiés selon les valeurs de leur quotient par les écarts-types correspondants. Pour la moyenne, on a et pour la variance : ces écarts réduits sont tout à fait acceptables, c'est à dire ne constituent pas un critère de différentiation entre le générateur utilisé et un processus effectivement aléatoire uniforme iid.